¿Cómo funciona un arco? (I) Funiculares y antifuniculares

Cómo funciona la estructura de un arco

Los arcos forman una gran parte de las construcciones antiguas y los hay de muchos tipos. Arcos son las nervaduras de intersección de las bóvedas góticas y arcos son los que forman logias y aperturas curvas de los muros.

Actualmente, para edificios, es raro que se empleen arcos en sus estructuras, pero no así en la construcción de puentes, donde siguen siendo una forma eficaz de resolver el problema estructural. Ha de decirse que sobre los arcos hay muchos mitos acerca de su comportamiento mecánico y todo suele referirse a un empuje que, por lo general, no se sabe qué es, ni dónde está, ni qué efecto tiene ni cómo se produce.

Cómo funciona la estructura de un arco

A veces se enuncia como contradictorio que antiguamente se construyeran arcos con mucha profusión y que ahora apenas se utilicen en construcciones habituales, pero esto no es así. Una cuestión básica es el coste de la cimbra, que ha de ser a medida para cada arco e impagable hoy; la otra es que el comportamiento de los arcos produce en el material -dentro de unos márgenes de esbeltez- siempre compresiones. Entonces, para los materiales pétreos -mortero, argamasa, hormigón, fábrica de piedra o de ladrillo,…- este comportamiento es óptimo, porque es la compresión lo que soportan perfectamente y no soportan tracción apenas, pero los materiales actuales como acero y hormigón sí soportan tracciones, por lo que no son óptimos para ejecutar arcos.

Cómo funciona la estructura de un arco

Veamos cuál es el principio mecánico en que se sustenta el arco. Empecemos por lo canónico. Si tomamos una cuerda sujeta entre dos puntos con una longitud mayor que la distancia entre ellos, y le colgamos pesos en puntos intermedios, formará una panza de forma poligonal con vértices justo donde colocamos las cargas. Esto aparentemente no requiere explicación alguna, porque es lo que podemos comprobar con nuestra experiencia. Sin embargo, esa forma que toma la cuerda responde exactamente a un comportamiento mecánico concreto. Es sencillo. Todos sabemos por experiencia que una cuerda es algo muy flexible si se intenta doblar -podemos enrollar una cuerda, anudarla, …-, pero si ejercemos una fuerza en la dirección de la propia cuerda no responde igual. Si tiramos de los extremos la cuerda se tensa y resiste firmemente. Si, por el contrario, tendemos a empujar los extremos de la cuerda acercándolos, la cuerda se dobla y no opone resistencia alguna. Por tanto, la única forma que tiene la cuerda de resistir es cuando la fuerza está alineada con la propia cuerda y, además, la fuerza tiende a estirarla.

Cómo funciona la estructura de un arco

La forma que toma la cuerda cuando se la somete a pesos es exactamente aquélla para la cual cada tramo de cuerda entre cargas toma una pendiente que, tirando de ella, soporta las cargas. Así, si tomamos cualquier carga de la cuerda, lo que veremos es que la fuerza que va hacia abajo se suma a la componente vertical del tramo de cuerda con menos pendiente, también orientado hacia abajo. Para que haya equilibrio, la componente vertical del tramo de cuerda con más pendiente -que va hacia arriba- debe sumar lo mismo que la carga más la componente vertical del tramo de menos pendiente. En vertical, ya está, lo hemos solucionado.

Pero hay un problema: la carga es vertical, pero los dos tramos de cuerda tienen también una componente horizontal. Como donde está la carga no hay fuerza horizontal alguna, no queda más remedio que ambos tramos de cuerda situados a los lados de la carga tengan la misma componente horizontal para que haya equilibrio. Entonces, lo anterior sucede en todos los puntos donde hay carga y el equilibrio vertical puede ser distinto en cada punto, pero el horizontal es el mismo siempre. Es decir, la fuerza horizontal que resiste la cuerda la recorre de lado a lado llegando a los extremos. Y la fuerza vertical se va acumulando hacia los lados -porque crece la pendiente de la cuerda- hasta llegar a los extremos. Por tanto, en los extremos tendremos concentrada toda la carga que hay sobre la cuerda en vertical, más una fuerza horizontal igual en ambos extremos y de sentido contrario. En el caso de la cuerda, son dos fuerzas horizontales que han de tirar hacia el exterior de la zona entre los dos apoyos de la cuerda. Esta forma de trabajar y la forma resultante de la cuerda es lo que se llama funicular de las cargas. Y es que funicular significa en latín exactamente lo que hemos descrito: funiculus (funis + culus) significa cuerda delgada o pequeña.

Cómo funciona la estructura de un arco

Supongamos ahora que en vez de una cuerda -que sólo resiste si se estira, o sea, en tracción- tenemos zoquetes de madera. Si los colocamos como la cuerda, al intentar estirarse se separarán unos de otros y se caerán sin más. Pero si en lugar de colocarlos como la cuerda invertimos la misma forma de aquélla, es decir, los puntos intermedios están más altos que los de los extremos, y colocamos las cargas justo donde se juntan dos zoquetes, todo lo que hemos explicado para la cuerda es idéntico salvo que ahora las fuerzas internas de cada tramo de madera no tienden a estirarla sino a acortarla. O sea, que ahora las fuerzas en las uniones entre zoquetes de madera tienden a juntarlos: hay compresiones. Y la fuerza horizontal que recorre la forma de lado a lado, ahora es la misma, pero cambia de signo: en los extremos va hacia el interior de la zona entre los dos apoyos. Pues bien, a esa fuerza se la denomina empuje y a la forma en que se dispondrán los zoquetes de madera -que es la misma que la de la cuerda, pero pasándola de cóncava a convexa- se la denomina antifunicular, por oposición en su comportamiento mecánico al funicular.

Cómo funciona la estructura de un arco

Entonces, si trazo antifuniculares con materiales que resisten compresiones podré resistir las cargas con ellos, mientras que si los intento realizar como funiculares se desplomarán. Por esto es por lo que las construcciones antiguas -de fábricas pétreas de todo tipo- han usado tanto los arcos: permiten salvar distancias entre apoyos mediante fuerzas de compresión que mantienen el material agregado. Eso sí, a costa de un empuje, y esto es vital. Imaginemos que la cuerda dejamos que uno de los extremos deslice en horizontal: la evidencia de lo que podemos comprobar nos dice que la cuerda se pliega y se va al suelo. Lo mismo sucede con los zoquetes de madera: si dejo que uno de los extremos deslice, todo el conjunto se va al garete. Por tanto, el empuje existe en tanto los extremos sean inamovibles. En caso contrario, el sistema no funciona y colapsa. Esta distinción permite reconocer qué son arcos y qué son simples formas curvas que no lo son: si no hay una coacción al desplazamiento de los extremos, esa forma no se comportará como arco.

Pero, entonces, cuál es la forma del funicular o del antifunicular. Es la ya explicada, pero guarda una relación directa -es lo mismo- con un concepto que se emplea en estructuras, el de momento flector. Veamos. La componente vertical de la cuerda tiene que resistir toda la carga acumulada en el punto del cable que consideremos. La horizontal es el ya dicho empuje. Como el cable tiene que orientarse según la composición de ambas, la pendiente del cable es la composición de la carga acumulada en vertical y el empuje en horizontal. Como la carga acumulada es lo que denominamos el cortante de las cargas, entonces, la pendiente del cable es proporcional al cortante. Por equilibrio sabemos que la variación de momento flector es el cortante, es decir, que la pendiente de la ley de momentos flectores es el cortante. Por tanto, si el cable tiene una pendiente proporcional al cortante, el cable está trazando una forma proporcional al momento flector de las cargas aplicadas. O sea, la forma del funicular o del antifunicular es proporcional a la ley de momentos flectores de las cargas, y el factor de proporcionalidad es precisamente el valor del empuje. Por tanto, si hacemos un antifunicular muy tendido, el empuje será muy grande, mientras que si lo hacemos muy peraltado, tendremos un empuje muy pequeño. Pero ambos serán exactamente la misma forma, aunque con distinta escala vertical.

Cómo funciona la estructura de un arco

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6 comentarios en “¿Cómo funciona un arco? (I) Funiculares y antifuniculares

  1. Me parece muy bien explicado.

    1. Muy interesante.

      Esto de paso explica, por que un cable que esta tenso resiste menos que uno que este flojo, y es que , al ser muy abierta la curva, la componente horizontal es muy grande y ademas coincide con la direccion del cable, haciendolo fallar.

      Estaba buscando saber que curva es mejor para la construccion de una cupula, y segun lo que indicas, seria aquella que represente mejor la funcion de momento flector de las cargas.

      Te estoy muy agradecido

  2. Explicacion tan sencilla como,rigurosa. Excelente esquema de tensiones y cargas.
    Jose c delgado. Ing. Naval

  3. Excelente explicación, me aclaraste como funciona el arco, después de mucho leer encontré una explicación perfectamente entendible y lógica.
    Ing. Miguel Escalante Ludeña

    1. Muchas gracias, Miguel. Saludos!

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